Question

已知函數f(x)=2sinxcosx-

3

cos2x+1（x∈R）．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）在區(qū)間x∈[

π

4

，

π

2

]上的最大值和最小值；
（III）若不等式[f（x）-m]²＜4對任意x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先利用輔助角公式將函數化簡成一個三角函數，然后根據三角函數的周期公式解之即可；
（II）先求出2x-

π

3

的取值范圍，然后根據正弦函數的單調性求出函數的值域，從而求出函數的最值；
（III））[f（x）-m]²＜4對任意x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立等價于

m＞f(x)-2 m＜f(x)+2

恒成立，根據（II）可求出實數m的取值范圍．

解答：解：（I）f(x)=sin2x-

3

cos2x+1=2sin(2x-

π

3

)+1，故T=π；
（II）∵x∈[

π

4

，

π

2

]
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2

3

π，于是1≤2sin(2x-

π

3

)≤2，即2≤f（x）≤3，
即f（x）_max=3，當x=

5π

12

時取得；f（x）_min=2，當x=

π

4

時取得．
（III）[f（x）-m]²＜4對任意x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立等價于

m＞f(x)-2 m＜f(x)+2

恒成立，
由（II）得1＜m＜4．
∴實數m的取值范圍是1＜m＜4．

點評：本題主要考查了正弦函數的定義域和值域，以及函數的周期和三角函數的化簡求值，同時考查了等價轉化的思想，屬于中檔題．