Question

（2012•浦東新區(qū)一模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy上放置一個(gè)邊長為1的正方形PABC，此正方形PABC沿x軸滾動（向左或向右均可），滾動開始時(shí)，點(diǎn)P位于原點(diǎn)處，設(shè)頂點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系是y=f（x），x∈R，該函數(shù)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為m．
（1）寫出m的值并求出當(dāng)0≤x≤m時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動路徑的長度l；
（2）寫出函數(shù)f（x），x∈[4k-2，4k+2]，k∈Z的表達(dá)式；研究該函數(shù)的性質(zhì)并填寫下面表格：

函數(shù)性質(zhì)	結(jié)  論
奇偶性	偶函數(shù)
單調(diào)性	遞增區(qū)間	[4k，4k+2]，k∈z
	遞減區(qū)間	[4k-2，4k]，k∈z
零點(diǎn)	x=4k，k∈z

（3）試討論方程f（x）=a|x|在區(qū)間[-8，8]上根的個(gè)數(shù)及相應(yīng)實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）m即正方形的周長，l由3段

1

4

圓弧構(gòu)成，其中2段弧所在圓的半徑等于1，1段弧所在圓的半徑等于

2

，從而
求得l的值．
（2）用分段函數(shù)表示函數(shù)f（x）的解析式，由此求出遞增區(qū)間和遞減區(qū)間，及函數(shù)的零點(diǎn)．
（3）易知直線y=ax恒過原點(diǎn)，函數(shù)y=f（x），x∈[-8，8]的圖象關(guān)于y軸對稱，分類討論直線y=ax在每一段上
與y=f（x）的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，綜合可得結(jié)論．

解答：解：（1）m即正方形的周長，∴m=4，…（2分）
l由3段

1

4

圓弧構(gòu)成，其中2段弧所在圓的半徑等于1，1段弧所在圓的半徑等于

2

，
故l=2[

1

4

×2π×1]+

1

4

×2π×

2

=（1+

2

2

）π．…（4分）
（2）函數(shù)f（x）=

2-(x-4k+2)2  ， 4k-2≤x≤4k-1 1-(x-4k+1)2 ， 4k-1≤x≤4k 1-(x-4k-1)2 ， 4k≤x≤4k+1 2-(x-4k-2)2 ， 4k+1≤x≤4k+2

，k∈z．…（7分）

函數(shù)性質(zhì)	結(jié)   論
奇偶性	偶函數(shù)
單調(diào)性	遞增區(qū)間	[4k，4k+2]，k∈z
	遞減區(qū)間	[4k-2，4k]，k∈z
零點(diǎn)	x=4k，k∈z

…（10分）
（3）f（x）=a|x|在區(qū)間[-8，8]刪的根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a|x|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
（i）易知直線y=ax恒過原點(diǎn)；
當(dāng)直線y=ax過點(diǎn)（1，1）時(shí)，a=1，此時(shí)點(diǎn)（2，0）到直線y=x的距離為

2

，
直線y=x與曲線 y=

2-(x-2)2

，x∈[1，3]相切．
當(dāng)x≥3時(shí)，y=x恒在曲線y=f（x）之上．
（ii）當(dāng)直線y=ax與曲線 y=

2-(x-6)2

，x∈[5，7]相切時(shí)，由點(diǎn)（6，0）到直線y=ax
的距離為

2

，a=

1

17

，此時(shí)點(diǎn)（5，0）到直線 y=

1

17

x的距離為

5

18

，
直線y=

1

17

x與曲線y=

1-(x-5)2

，x∈[4，5]相離．
（iii）當(dāng)直線y=ax與曲線 y=

1-(x-5)2

，x∈[4，5]相切時(shí)，由點(diǎn)（5，0）到直線 y=ax
的距離為1，a=

1

24

=

6

12

，此時(shí)點(diǎn)（6，0）到直線y=

1

24

x的距離為

6

25

＜

2

，
直線y=

1

24

x與曲線 y=

2-(x-6)2

，x∈[5，7]相交于兩個(gè)點(diǎn)．
（ⅳ）當(dāng)直線y=ax過點(diǎn)（5，1）時(shí)，a=

1

5

，此時(shí)點(diǎn)（5，0）到直線y=

1

5

x的距離為

5

26

＜1，直線y=

1

5

x與曲線 y=

1-(x-5)2

，x∈[4，5]相交于兩個(gè)點(diǎn)．
點(diǎn)（6，0）到直線y=

1

5

x的距離為

6

26

＜

2

，直線y=

1

5

x與曲線y=

2-(x-6)2

，x∈[5，7]相交于兩個(gè)點(diǎn)．
（ⅴ）當(dāng)a=0時(shí)，直線y=0與曲線y=f（x），x∈[-8，8]有且只有5個(gè)交點(diǎn)；
（ⅵ）當(dāng)a＜0時(shí)，直線y=ax與曲線y=f（x），x∈[-8，8]有且只有1個(gè)交點(diǎn)；
因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x），x∈[-8，8]的圖象關(guān)于y軸對稱，…（14分）
故綜上可知：（1）當(dāng)a＜0時(shí)，方程 f（x）=a|x|只有1實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)a＞

17

17

時(shí)，方程f（x）=a|x|有3個(gè)實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)a=

17

17

，或a=0時(shí)，方程f（x）=a|x|有5個(gè)實(shí)數(shù)根；
（4）當(dāng) 0＜a＜

1

5

或

6

12

＜a＜

17

17

時(shí)，方程f（x）=a|x|有7個(gè)實(shí)數(shù)根；
（5）當(dāng)a=

6

12

時(shí)，方程f（x）=a|x|有9個(gè)實(shí)數(shù)根；
（6）當(dāng)a=

1

5

，方程f（x）=a|x|有2個(gè)實(shí)數(shù)根；
（7）當(dāng)

1

5

＜a＜

6

12

時(shí)，方程f（x）=a|x|有11個(gè)實(shí)數(shù)根．…（18分）

點(diǎn)評：本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．