Question

7．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C₁的極坐標方程為ρ²=$\frac{3}{{1+2{{cos}^2}x}}$，直線l的極坐標方程為ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$．
（ I）寫出曲線C₁與直線l的直角坐標方程；
（ II）設(shè)Q為曲線C₁上一動點，求點Q到直線l距離的最小值．

Answer 1

分析 （ I）利用極坐標與直角坐標互化方法，寫出曲線C₁與直線l的直角坐標方程；
（ II）設(shè)$Q（cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，則點Q到直線l的距離$d=\frac{{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-4|}}{{\sqrt{2}}}$，即可求點Q到直線l距離的最小值．

解答 解：（ I）線C₁的極坐標方程為ρ²=$\frac{3}{{1+2{{cos}^2}x}}$，可得化為${C_1}=3{x^2}+{y^2}=3$，
直線l的極坐標方程為ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$，可化為l：x+y=4．…（4分）
（ II）設(shè)$Q（cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，則點Q到直線l的距離$d=\frac{{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-4|}}{{\sqrt{2}}}$
=$\frac{{|2（\frac{1}{2}cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）-4|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|2sin（θ+\frac{π}{6}）-4|}}{{\sqrt{2}}}≥\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$．
當且僅當$θ+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}$，
即$θ=2kπ+\frac{π}{3}（k∈Z）$時，Q點到直線l距離的最小值為$\sqrt{2}$．…（10分）

點評 本題考查極坐標與直角坐標的互化，考查點到直線的距離公式的運用，考查三角函數(shù)知識，屬于中檔題．