Question

設函數f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）若x=0是F（x）的極值點，求a的值；
（Ⅱ）當 a=1時，設P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，g（x₂））（x₁＞0，x₂＞0），且PQ∥x軸，求P、Q兩點間的最短距離；
（Ⅲ）若x≥0時，函數y=F（x）的圖象恒在y=F（-x）的圖象上方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）、根據題意先求出函數F（x）的函數表達式，再求出其導函數F′（x），令F′（0）=0便可求出a的值；
（Ⅱ）、根據題意可知（x₁）=g（x₂），令h（x）=x₂-x₁=e^x+sinx-x，求出其導函數，進而求得h（x）的最小值即為P、Q兩點間的最短距離；
（Ⅲ）、令φ（x）=F（x）-F（-x），求出其導函數，便可求出φ（x）的單調性，進而可求得a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=e^x+sinx-ax，F(xiàn)′（x）=e^x+cosx-a．
因為x=0是F（x）的極值點，所以F′（0）=1+1-a=0，a=2．（2分）
又當a=2時，若x＜0，F(xiàn)'（x）=e^x+cosx-a＜0；若x＞0，F(xiàn)'（x）=e^x+cosx-a＞0．
∴x=0是F（x）的極小值點，
∴a=2符合題意．（4分）
（Ⅱ）∵a=1，且PQ∥x軸，由f（x₁）=g（x₂）得：，
所以．
令h（x）=e^x+sinx-x，h′（x）=e^x+cosx-1＞0，當x＞0時恒成立．
∴x∈[0，+∞）時，h（x）的最小值為h（0）=1．
∴|PQ|_min=1．（9分）
（Ⅲ）令φ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax．
則φ′（x）=e^x+e^-x+2cosx-2a．S（x）=φ′′（x）=e^x-e^-x-2sinx．
因為S′（x）=e^x+e^-x-2cosx≥0當x≥0時恒成立，（11分）
所以函數S（x）在[0，+∞）上單調遞增，（12分）
∴S（x）≥S（0）=0當x∈[0，+∞）時恒成立；
因此函數φ′（x）在[0，+∞）上單調遞增，φ′（x）≥φ′（0）=4-2a當x∈[0，+∞）時恒成立．
當a≤2時，φ′（x）≥0，φ（x）在[0，+∞）單調遞增，即φ（x）≥φ（0）=0．
故a≤2時F（x）≥F（-x）恒成立．（13分）
點評：本題主要考查了利用函數的導數求出函數的單調性以及函數的極值問題，是各地高考的熱點和難點，屬于中檔題，同學們要加強訓練．