Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓

x2

3

+y²=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若

F1A

=3

F2B

，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓

x2

3

+y²=1可得a²=3，b²=1，求出c，得到左、右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用

F1A

=3

F2B

，可得x₁，x₂分別用y₁，y₂表示．把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別代入橢圓即可解出．

解答： 解：因?yàn)镕₁，F(xiàn)₂分別為橢圓

x2

3

+y²=1的焦點(diǎn)，則F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵

F1A

=3

F2B

，
∴x₁+

2

=3（x₂-

2

），y₁=3y₂，
解得x₁=3x₂-4

2

，y₁=3y₂，
∵點(diǎn)A，B在橢圓上，
∴代入橢圓方程，解得x₂=

7 2

6

，y₂=±

30

18

．
∴x₁=-

2

2

，y₁=±

30

6

∴A（-

2

2

，±

30

6

）．
故答案為：（-

2

2

，±

30

6

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、向量的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．