Question

已知拋物線E：y²=4x，點(diǎn)F（a，0），直線l：x=-a（a＞0）．
（Ⅰ）P為直線l上的點(diǎn)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)Q滿(mǎn)足RQ⊥FP，PQ⊥l．當(dāng)a=1時(shí)，試問(wèn)點(diǎn)Q是否在拋物線E上，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，直線OA，OB分別與直線l交于M，N兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：以MN為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合,方程思想,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，結(jié)合圖形，利用拋物線的定義，得出Q點(diǎn)在拋物線E；
（Ⅱ）由圖形的對(duì)稱(chēng)性得出定點(diǎn)在x軸上，設(shè)出定點(diǎn)的坐標(biāo)，討論①直線AB的斜率不存在時(shí)與②直線AB的斜率存在時(shí)，求出以MN為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)是什么．

解答： 解：（Ⅰ）由已知a=1，得F（1，0）為焦點(diǎn)，直線l：x=-1為準(zhǔn)線；
∵O點(diǎn)為FC的中點(diǎn)，且OR∥PC，∴點(diǎn)R是線段PF的中點(diǎn)，
又∵RQ⊥PF，∴QR是PF的垂直平分線，∴PQ=QF；
根據(jù)拋物線的定義知，Q點(diǎn)在拋物線E：y²=4x上；
（Ⅱ）由圖形的對(duì)稱(chēng)性知，定點(diǎn)在x軸上，設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)為K（m，0），
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB方程為x=a，
求得A（a，2

a

），B（a，-2

a

），M（-a，2

a

），N（-a，-2

a

）；
顯然，以MN為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)（2

a

-a，0），（-2

a

-a，0）；
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-a），代入y²=4x得k²x²-（2ak²+4）x+a²k²=0；
設(shè)A（x₁，2

x1

），B（x₂，-2

x2

），
由根與系數(shù)的關(guān)系得，x₁+x₂=

2ak2+4

k2

，x₁x₂=a²；
又k_OA=

2

x1

k_OB=-

2

x2

∴直線OA的方程為y=

2

x1

x，
直線OB的方程為y=-

2

x2

x；
∴M（-a，-

2a

x2

），N（-a，

2a

x1

）；
由于圓恒過(guò)點(diǎn)Km0），根據(jù)圓的性質(zhì)得∠MKN=90°，
即

KM

•

KN

=0，
∴

KM

=（-a-m，-

2a

x2

），

KN

=（-a-m，

2a

x1

），
代入上式向量的數(shù)量積，得；（a+m）²-

4a2

x1x2

=0，
∴（a+m）²-4a=0，解得m=±2

a

-a；
∴以MN為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)（2

a

-a，0），（-2

a

-a，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義域幾何性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線方程、圓的方程的應(yīng)用問(wèn)題，考查了用代數(shù)的方法研究圓錐曲線的性質(zhì)的問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合的思想與方程的思想，是綜合性題目．