設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+1
，點A0表示坐標原點，點An（n，f（n））（n∈N*），若向量
an
=
A0A1
+
A1A2
+…+
An-1An
，θn是
an
與
i
的夾角，（其中
i
=(1，0)），設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，則
lim
n→∞
Sn=
 
．
分析：設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+1
，點A0表示坐標原點，點An（n，f（n））（n∈N*），則能推導出Sn=
1
1•2
+
1
2•3
++
1
n(n+1)
=1-
1
n+1
，由此能導出
lim
n→∞
Sn．
解答：解：設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+1
，點A0表示坐標原點，點An（n，f（n））（n∈N*），
若向量
an
=
A0A1
+
A1A2
+…+
An-1An
=
A0An
，
θn是
an
與
i
的夾角，
tanθn=
1
n+1
n
=
1
n(n+1)
（其中
i
=(1，0)），
設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn=
1
1•2
+
1
2•3
+…+
1
n(n+1)
=1-
1
n+1
，
則
lim
n→∞
Sn=1．
點評：本題考查數(shù)列的極限和運算，解題時要注意三角函數(shù)的靈活運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
1x-1
-1．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ） 證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•山東）設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x
，g（x）=-x2+bx．若y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且僅有兩個不同的公共點A（x1，y1），B（x2，y2），則下列判斷正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+1
，點A0表示原點，點An（n，f（n））（n∈N*），θn是向量
a
與向量
i
=(1，0)的夾角，
an
=
A0A1
+
A1A2
+
A2A3
+…+
An-1An
，設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn，則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+1
，點A0表示坐標原點，點An（n，f（n））（n∈N*），若向量
an
=
A0A1
+
A1A2
+…+
An-1An
，θn是
an
與
i
的夾角，（其中
i
=(1，0)），設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，則Sn=
n
n+1
n
n+1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+2
+lg
1-x
1+x

（1）求f（x）的定義域．
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明．
（3）解關(guān)于x的不等式f[x(x-
1
2
)]＜
1
2
．

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