設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+1
，點(diǎn)A0表示原點(diǎn)，點(diǎn)An（n，f（n））（n∈N*），θn是向量
a
與向量
i
=(1，0)的夾角，
an
=
A0A1
+
A1A2
+
A2A3
+…+
An-1An
，設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn，則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．
分析：利用向量求和知識(shí)向量化簡(jiǎn)為=
.
A0
An，利用向量夾角概念可得tanθn=
f(n)
n
=
1
n×(n+1)
，再利用數(shù)列裂項(xiàng)相消求和知識(shí)及極限運(yùn)算法則可得解．
解答：解：由向量求和知
an
=
A0A1
+
A1A2
+
A2A3
+…+
An-1An
=
.
A0
An
∵函數(shù)f(x)=
1
x+1
，點(diǎn)A0表示原點(diǎn)，點(diǎn)An（n，f（n））（n∈N*），θn是向量
a
與向量
i
=(1，0)的夾角，
∴tanθn=
f(n)
n
=
1
n×(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，
∴Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1

∴
lim
n→∞
Sn=1
故答案為1．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列的極限，主要考查向量與極限結(jié)合的綜合．涉及向量運(yùn)算的多邊形法則及向量夾角概念．考查數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消方法及極限運(yùn)算法則，有一定的綜合性．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
1x-1
-1．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ） 證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•山東）設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x
，g（x）=-x2+bx．若y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則下列判斷正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+1
，點(diǎn)A0表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)An（n，f（n））（n∈N*），若向量
an
=
A0A1
+
A1A2
+…+
An-1An
，θn是
an
與
i
的夾角，（其中
i
=(1，0)），設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，則Sn=
n
n+1
n
n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+2
+lg
1-x
1+x

（1）求f（x）的定義域．
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明．
（3）解關(guān)于x的不等式f[x(x-
1
2
)]＜
1
2
．

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