Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a1=-

2

3

，滿足Sn+

1

Sn

+2=an，(n≥2)，
（Ⅰ）求S_n的表達(dá)式；
（Ⅱ） 問：在數(shù)列{a_n}中是否存在一項(xiàng)，使關(guān)于x的方程x²-（a_n+1）x+1=0有兩個(gè)正根？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a1=-

2

3

，Sn+

1

Sn

+2=an，(n≥2)，令n=2，3，4得出S₂，S₃，S₄．猜想：Sn=-

n+1

n+2

．并用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
（II）一方面利用（I）可得：an=Sn+

1

Sn

+2=-

1

n(n+1)

，(n≥2)，可得an∈[-

2

3

，0)，另一方面：若關(guān)于x的方程x²-（a_n+1）x+1=0有兩個(gè)正根，則必須滿足：

△=(an+1)2-4≥0 an+1＞0 1＞0

得出 a_n的取值范圍，進(jìn)行比較即可．

解答：解：（Ⅰ）由a1=-

2

3

，Sn+

1

Sn

+2=an，(n≥2)，得S1=-

2

3

，S2=-

3

4

，S3=-

4

5

，S4=-

5

6

，
猜想：Sn=-

n+1

n+2

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，S1=-

2

3

，所以命題成立．
（2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即Sk=-

k+1

k+2

，
由Sk+1+

1

Sk+1

+2=ak+1 =Sk+1-Sk，
Sk+1=-

1

SK+2

=-

k+2

k+3

．
這說明了n=k+1時(shí)，命題也成立．
由（1），（2）可得，對任意的正整數(shù)n命題都成立．
（Ⅱ）an=Sn+

1

Sn

+2=-

1

n(n+1)

，(n≥2)，
∴an∈[-

2

3

，0)，
若關(guān)于x的方程x²-（a_n+1）x+1=0有兩個(gè)正根，則

△=(an+1)2-4≥0 an+1＞0 1＞0

即 a_n≥1．
所以在數(shù)列{a_n}中不存在一項(xiàng)，使關(guān)于x的方程x²-（a_n+1）x+1=0有兩個(gè)正根．

點(diǎn)評：本題考查了“先猜想后用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式”、一元二次方程由兩個(gè)正實(shí)數(shù)根的條件等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．