Question

某城市計劃在如圖所示的空地ABCD上豎一塊長方形液晶廣告屏幕MNEF，宣傳該城市未來十年計劃、目標等相關政策．已知四邊形ABCD是邊長為30m的正方形，電源在點P處，點P到邊AD、AB的距離分別為9m，3m，且MN～NE=16～9，線段MN必過點P，端點M、N分別在邊AD、AB上，設AN=xm，液晶廣告屏幕MNEF的面積為Sm²．
（1）求S關于x的函數(shù)關系式及其定義域；
（2）若液晶屏每平米造價為1500元，當x為何值時，液晶廣告屏幕MNEF的造價最低？

Answer 1

分析：（1）先確定AM、MN的長，進而可得S關于x的函數(shù)關系式及其定義域；
（2）要使液晶廣告屏幕MNEF的造價最低，即使液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小，利用導數(shù)的方法，即可求得結論．

解答：解：（1）由題意，在△AMN中，

9

x

=

MP

MN

，

3

AM

=

NP

MN

∴

9

x

+

3

AM

=1，∴AM=

3x

x-9

∴MN=

AM2+AN2

=

x2+ 9x2 (x-9)2

∵0≤AM≤30，0≤x≤30，，10≤x≤30
∴S=

9

16

[x2+

9x2

(x-9)2

]，其定義域為[10，30]；
（2）由題意，要使液晶廣告屏幕MNEF的造價最低，即使液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小
設f(x)=

9

16

[x2+

9x2

(x-9)2

]（x∈[10，30]），則f′(x)=

9

16

×

2x[(x-9)3-81]

(x-9)3

令f′（x）=0，的x=9+3

3	3

因為10≤x＜9+3

3	3

時，f'（x）＜0；9+3

3	3

＜x≤30時，f'（x）＞0，
所以x=9+3

3	3

時，S取得最小值，即液晶廣告屏幕MNEF的造價最低．
故當x=9+3

3	3

時，液晶廣告屏幕的造價最低．

點評：本題考查四邊形面積的計算，考查導數(shù)知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．