Question

某城市計劃在如圖所示的空地ABCD上豎一塊長方形液晶廣告屏幕MNEF，宣傳該城市未來十年計劃、目標(biāo)等相關(guān)政策．已知四邊形ABCD是邊長為30m的正方形，電源在點(diǎn)P處，點(diǎn)P到邊AD、AB的距離分別為9m，3m，且MN～NE=16～9，線段MN必過點(diǎn)P，端點(diǎn)M、N分別在邊AD、AB上，設(shè)AN=xm，液晶廣告屏幕MNEF的面積為Sm²．
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；
（2）若液晶屏每平米造價為1500元，當(dāng)x為何值時，液晶廣告屏幕MNEF的造價最低？

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定AM、MN的長，進(jìn)而可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；
（2）要使液晶廣告屏幕MNEF的造價最低，即使液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小，利用導(dǎo)數(shù)的方法，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由題意，在△AMN中，，
∴，∴AM=
∴MN==
∵0≤AM≤30，0≤x≤30，，10≤x≤30
∴S=，其定義域為[10，30]；
（2）由題意，要使液晶廣告屏幕MNEF的造價最低，即使液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小
設(shè)（x∈[10，30]），則
令f′（x）=0，的x=
因為時，f'（x）＜0；時，f'（x）＞0，
所以時，S取得最小值，即液晶廣告屏幕MNEF的造價最低．
故當(dāng)時，液晶廣告屏幕的造價最低．
點(diǎn)評：本題考查四邊形面積的計算，考查導(dǎo)數(shù)知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．