Question

如圖甲，⊙O的直徑AB=2，圓上兩點(diǎn)C，D在直徑AB的兩側(cè)，且∠CBA=∠DAB=

π

3

．沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，E為AO的中點(diǎn)．

根據(jù)圖乙解答下列各題：
（Ⅰ）求證：CB⊥DE；
（Ⅱ）求三棱錐C-BOD的體積；
（Ⅲ）在劣弧

BD

上是否存在一點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用等邊三角形的性質(zhì)可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得到DE⊥平面ABC，進(jìn)而得出結(jié)論．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，利用轉(zhuǎn)換底面的方法，即可求三棱錐的體積；
（Ⅲ）存在，G為劣弧

BD

的中點(diǎn)．連接OG，OF，F(xiàn)G，通過證明平面OFG∥平面ACD，即可得到結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：在△AOD中，
∵∠OAD=

π

3

，OA=OD，
∴△AOD為正三角形，
又∵E為OA的中點(diǎn)，
∴DE⊥AO…（1分）
∵兩個(gè)半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線為AB，
∴DE⊥平面ABC．      …（3分）
又CB?平面ABC，∴CB⊥DE．     …5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，
∴DE為三棱錐D-BOC的高．∵D為圓周上一點(diǎn)，且AB為直徑，∴∠ADB=

π

2

，
在△ABD中，由AD⊥BD，∠BAD=

π

3

，AB=2，得AD=1，DE=

3

2

．     …（6分）
∵S△BOC=

1

2

S△ABC=

1

2

×

1

2

×1×

3

=

3

4

，
∴VC-BOD=VD-BOC=

1

3

S△BOC•DE=

1

3

×

3

4

×

3

2

=

1

8

．    …（8分）
（Ⅲ）解：存在滿足題意的點(diǎn)G，G為劣弧

BD

的中點(diǎn)．       …（9分）
證明如下：連接OG，OF，F(xiàn)G，易知OG⊥BD，又AD⊥BD∴OG∥AD，
∵OG?平面ACD，∴OG∥平面ACD．      …（10分）
在△ABC中，O，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，
∴OF∥AC，OF?平面ACD，∴OF∥平面ACD，…（11分）
∵OG∩OF=O，∴平面OFG∥平面ACD．
又FG?平面OFG，∴FG∥平面ACD．      …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線、線面、面面關(guān)系，考查線線垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)、線面平行的判定及幾何體高與體積的計(jì)算，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力及分析探究問題和解決問題的能力．