Question

已知橢圓E的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其左頂點(diǎn)為（-2，0），離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知傾斜角為45°且過(guò)右焦點(diǎn)的直線l交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使

OP

=λ（

OA

+

OB

），試求λ的值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓左頂點(diǎn)為（-2，0），離心率e=

1

2

，結(jié)合b=

a2-c2

，求出幾何量，即可求橢圓E的方程；
（2）確定直線l的方程，代入橢圓方程并整理，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

OP

=λ（

OA

+

OB

），求出P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求λ的值．

解答：解：（1）由已知得a=2，e=

c

a

=

1

2

，∴c=1，b=

a2-c2

=

3

，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）得右焦點(diǎn)F（1，0），因此直線l的方程為y=x-1．
代入橢圓方程并整理得7x²-8x-8=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8

7

，
∴y₁+y₂=（x₁-1）+（x₂-1）=（x₁+x₂）-2=-

6

7

．
∴

OP

=λ（

OA

+

OB

）=λ（x₁+x₂，y₁+y₂）=λ（

8

7

，-

6

7

），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

8λ

7

，-

6λ

7

），
代入橢圓方程，可得

( 8λ 7 )2

4

+

(- 6λ 7 )2

3

=1，
∴λ2=

7

4

，解得λ=±

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．