Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx+$\frac{a+1}{x}$
（Ⅰ）若a≥0或a≤-1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：f（x）至多一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的對(duì)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{（ax+a+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
①a≥0時(shí)，ax+a+1＞0，則當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
②a≤-1時(shí)，ax+a+1＜0，則當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
（Ⅱ）對(duì)于函數(shù)f（x）：-1＜a＜0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=1或-$\frac{a+1}{a}$，
-1＜a＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，0＜-$\frac{a+1}{a}$＜1，
故當(dāng)x∈（0，-$\frac{a+1}{a}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（-$\frac{a+1}{a}$，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
a=-$\frac{1}{2}$ 時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上遞減．
-$\frac{1}{2}$＜a＜0時(shí)，-$\frac{a+1}{a}$＞1，
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，-$\frac{a+1}{a}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-$\frac{a+1}{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．                                                          
故有①設(shè)a≥0，f（x）≥f（1）=2a+1＞0，f（x）無(wú)零點(diǎn)，
②設(shè)a≤-1，f（x）≤f（1）=2a+1＜0，f（x）無(wú)零點(diǎn)，
③設(shè)a=-$\frac{1}{2}$，f（x）單調(diào)遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，
④設(shè)-1＜a＜-$\frac{1}{2}$，則當(dāng)x∈（0，-$\frac{a+1}{a}$）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（-$\frac{a+1}{a}$，+∞）時(shí)，f（x）≤f（1）=2a+1＜0，
因此f（x）至多一個(gè)零點(diǎn)，
⑤設(shè)-$\frac{1}{2}$＜a＜0，則當(dāng)x∈（-$\frac{a+1}{a}$，+∞），f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，-$\frac{a+1}{a}$） 時(shí)，f（x）≥f（1）=2a+1＞0，
因此f（x）至多一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，f（x）至多一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．