Question

有一小型自來水廠，蓄水池中已有水500噸，水廠每小時可向蓄水池注水90噸，同時蓄水池向居民小區(qū)供水，x小時內(nèi)供水總量為90

12x

噸．現(xiàn)在開始向池中注水并同時向居民小區(qū)供水，問：
（Ⅰ）多少小時后蓄水池中的水量最少，最少為多少噸？
（Ⅱ）如果蓄水池中存水量少于350噸時，就會出現(xiàn)供水緊張，那么有幾個小時供水緊張？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）設(shè)x小時后蓄水池中的水量為y，由題意得：y=500+90x-90

12x

=500+90x-180

3x

（x≥0），令t=

3x

，則t≥0，x=

t2

3

，轉(zhuǎn)化為二次函，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出最小值；
（Ⅱ）由題意，當y＜350噸時就會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象，即t²-6t+5＜0，解得t，即得x的范圍，即可得出結(jié)果．

解答： 解：設(shè)x小時后蓄水池中的水量為y噸，則有：y=500+90x-90

12x

=500+90x-180

3x

（x≥0）…（2分）
（Ⅰ）令t=

3x

，則t≥0，x=

t2

3

，
∴y=500+30t²-180t=30（t-3）²+230，
∴當t=3，及

3x

=3，x=3時，y_min=230噸，
∴3小時后蓄水池中的水量最少，最少為230噸；             …（6分）
（Ⅱ）由題意500+90x-180

3x

＜350…．（7分）
由第（Ⅰ）問知：500+30t²-180t＜350，
∴t²-6t+5＜0，∴1＜t＜5，…．（9分）
即1＜

3x

＜5，∴

1

3

＜x＜

25

3

，…．（10分）
∵

25

3

-

1

3

=8，故有8小時供水緊張．…．…．（12分）

點評：本題考查換元法、二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法，正確理解題意并得出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．