Question

【題目】已知橢圓C的一焦點與的焦點重合，點在橢圓C上．直線l過點（1，1），且與橢圓C交于A，B兩點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）點M滿足，點O為坐標原點，延長線段OM與橢圓C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求出此時直線l的方程，若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）能，x＝1或3x﹣8y+5＝0．

【解析】

（1）求出拋物線焦點坐標，即為橢圓一焦點，可得的一方程，由已知點在橢圓上又得一個的方程，聯(lián)立后可解得，得橢圓方程；

（2）假設存在四邊形OAPB為平行四邊形，需要分類討論，當直線的斜率不存在時，即x＝1，可求得點坐標，得證，當直線的斜率存在時，設l的方程為：y＝kx+m，顯然k≠0，m≠0，設，， M（x0，y0），由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，應用韋達定理求得點坐標，再由平行四邊形得點坐標，利用直線過點及在橢圓上，可求得(交待此時直線與橢圓相交)，得直線方程．

（1）的焦點為：（，0），由題意得c，點在橢圓C上，

∴1，又a2＝b2+c2∴a2＝4，b2＝1，

所以橢圓C的方程為：y2＝1；

（2）假設存在四邊形OAPB為平行四邊形，當直線的斜率不存在時，即x＝1，

則A（1，），B（1，），

則中點M的坐標（1，0），

所以P的坐標（2，0），這時（1，），

（1，），∴，

所以符合題意，這時直線l的方程：x＝1，

當直線的斜率存在時，設l的方程為：y＝kx+m，顯然k≠0，m≠0，

設，， M（x0，y0），

將直線與橢圓聯(lián)立整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，△＞0，

，，

所以M（，），

四邊形OAPB為平行四邊形時，當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即：xP＝2x0，yP＝2y0，

則，

又直線l過（1，1），

所以 m＝1﹣k，兩式聯(lián)立得：k，m，滿足△＞0，符合條件，

所以這時直線l的方程：yx，即：3x﹣8y+5＝0

綜上所述直線l的方程：x＝1或3x﹣8y+5＝0．