Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，左視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．
（Ⅰ）證明：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）求二面角C-NB₁-C₁的余弦值；M為AB中點，在線段CB上是否存在一點P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先將三視圖還原實物圖，以BA，BB₁，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

BN

•

NB1

=0與

BN

•

B1C1

=0得到BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁，而NB₁與B₁C₁相交于B₁，滿足線面垂直的判定定理；
（2）先求平面C₁B₁N的一個法向量和平面NCB₁的一個法向量，然后利用向量的夾角公式求出兩法向量夾角的余弦值，
根據(jù)圖可知，所求二面角為銳角，從而得到二面角C-NB₁-C₁的余弦值；
（3）先設(shè)出點P的坐標(biāo)，從而表示出

MP

，然后根據(jù)MP∥平面CNB₁，則

MP

與平面NCB₁的一個法向量垂直建立等式關(guān)系，即可求出點P，最后再求出BP的長即可．

解答：（1）證明∵該幾何體的正視圖為矩形，左視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
∴BA，BC，BB₁兩兩垂直．以BA，BB₁，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，（1分）
則B（0，0，0），N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）

∵

BN

•

NB1

=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0

BN

•

B1C1

=（4，4，0）•（0，0，4）=0（3分）
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁．
又NB₁與B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N．（5分）
（2）∵BN⊥平面C₁B₁N，

BN

是平面C₁B₁N的一個法向量

n1

=（4，4，0），（6分）
設(shè)

n2

=（x，y，z）為平面NCB₁的一個法向量，
則

n2 • CN =0 n2 • NB1 =0

?

(x，y，z)•(4，4，-4)=0 (x，y，z)•(4，-4，0)=0

?

x+y-z=0 x-y=0

，
取

n2

=（1，1，2），（8分）
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

4+4

16+16 • 1+1+4

=

1

3

=

3

3

由圖可知，所求二面角為銳角，
所以，所求二面角C-NB₁-C₁的余弦值為

3

3

．（10分）
（3）∵M(jìn)（2，0，0）．設(shè)P（0，0，a）（0≤a≤4）為BC上一點，則

MP

=（-2，0，a），
∵M(jìn)P∥平面CNB₁，
∴

MP

⊥

n2

?

MP

•

n2

=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0?a=1．（13分）
∴在CB上存在一點P（0，0，1），使得MP∥平面CNB₁，且BP=1（14分）

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系、二面角及其平面角等有關(guān)知識，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題的能力．