Question

已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-3|當a=-2時，解不等式：f（x）≥4，若f（x）≤|x-5|的解集包括[2，3]，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當a=-2時，f（x）≥4?|x-2|+|x-3|≥4，通過對自變量x的取值范圍的分類討論，去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一次不等式組解即可；
（2）依題意知，f（x）≤|x-5|在[2，3]上恒成立?|x+a|+3-x≤5-x在[2，3]上恒成立，利用絕對值不等式的性質(zhì)即可求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=-2時，f（x）≥4?|x-2|+|x-3|≥4，
即

x≤2 2-x+3-x≥4

，或

2＜x＜3 x-2+3-x≥4

，或

x≥3 x-2+x-3≥4

，
解得 x≤

1

2

或x≥

9

2

，
故不等式的解集為 {x|x≤

1

2

或x≥

9

2

}．
（2）原命題即f（x）≤|x-5|在[2，3]上恒成立，等價于|x+a|+3-x≤5-x在[2，3]上恒成立，
等價于-2-x≤a≤2-x在[2，3]上恒成立，
解得-4≤a≤-1，故a的取值范圍為[-4，-1]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，通過對自變量x的取值范圍的分類討論，去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一次不等式組是關(guān)鍵，考查分類討論思想與綜合運算能力，屬于中檔題．