Question

已知函數(shù)f（x）的定義域R，如果x＞0，則f（x）＞-1．且滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，．
（1）證明f（x）的單調(diào)性；
（2）解不等式f（-x）+f（x²-4）≥6．

Answer 1

證明：（1）任取兩個實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
令x=x₁，x+y=x₂，則y=x₂-x₁＞0
則f（x₂-x₁）＞-1
由函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
故f（x₂）=f（x₁）+f（x₂-x₁）+1＞f（x₁），
故函數(shù)f（x）在R為增函數(shù)
解：（2）∵函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
令x=y=，可得f（1）=f（）+f（）+1=1+1+1=3
令x=1，y=1，可得f（2）=f（1）+f（1）+1=3+3+1=7
則不等式f（-x）+f（x²-4）≥6可化為f（-x）+f（x²-4）+1≥7
即f（x²-x-4）≥6=f（2）
即x²-x-4≥2，即x²-x-6≥0
解得x≤-2，或x≥3
分析：（1）令x=x₁，x+y=x₂，則y=x₂-x₁＞0，由函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，可得當(dāng)x₁＜x₂時，f（x₂）＞f（x₁），進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到結(jié)論；
（2）根據(jù)及函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，求出f（1）=3，f（2）=7，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而將原不等式化為x²-x-4≥2，解答即可．
點評：本題考查的知識點是抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，其中根據(jù)已知中抽象函數(shù)滿足的條件，利用“湊配法”確定函數(shù)的單調(diào)性及特殊函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．