Question

某機(jī)床廠2001年年初用98萬元購進(jìn)一臺數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用，計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬元．
（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）使用若干年后，對機(jī)床的處理方案有兩種：
方案一：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以30萬元價(jià)格處理該機(jī)床；
方案二：當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以12萬元價(jià)格處理該機(jī)床．
請你研究一下哪種方案處理較為合理？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，根據(jù)第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬元，由此可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）方案一：

y

x

=-2x+40-

98

x

=40-(2x+

98

x

)，利用基本不等式可求最值
方案二：y=-2x²+40x-98=-2（x-10）²+102，利用配方法求最值，比較即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，根據(jù)第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬元，可得y=50x-[12x+

x(x-1)

2

×4]-98=-2x2+40x-98(x∈N*) （2分）
（2）方案一：∵

y

x

=-2x+40-

98

x

=40-(2x+

98

x

) （2分）
∵

y

x

=40-(2x+

98

x

)≤40-2

2×98

=12，
當(dāng)且僅當(dāng)2x=

98

x

 時(shí)，即x=7 時(shí)等號成立
故到2008年，年平均盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利為12×7+30=114 萬元．（2分）
方案二：y=-2x²+40x-98=-2（x-10）²+102 （1分）
當(dāng)x=10 時(shí)y_max=102 
故到2011年，盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利為102+12=114 萬元．（2分）
盈利額達(dá)到的最大值相同，而方案一所用的時(shí)間較短，故方案一比較合理．（1分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式與配方法求函數(shù)的最值，屬于中檔題．