在棱長為a的正方體OABC-O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF．
（Ⅰ）求證：A′F⊥C′E；
（Ⅱ）當三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時，求二面角B′-EF-B的大小．（結果用反三角函數(shù)表示）
精英家教網(wǎng)

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（I）證明：如圖，以O為原點建立空間直角坐標系．
設AE=BF=x，則A′（a，0，a）、F（a-x，a，0）、C′（0，a，a）、E（a，x，0）
∴
A′F
={-x，a，-a}，
C′E
={a，x-a，-a}．…（4分）
∵
A′F
•
C′E
=-xa+a(x-a)+a2=0，
∴A′F⊥C′E．
（II）記BF=x，BE=y，則x+y=a，
三棱錐B′-BEF的體積V=
1
6
xya≤
a
6
(
x+y
2
)2=
1
24
a3，
當且僅當x=y=
a
2
時，等號成立．
因此，三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時，BE=BF=
a
2
．…（10分）
過B作BD⊥EF交EF于D，連B′D，可知B′D⊥EF．
∴∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角．
在直角三角形BEF中，直角邊BE=BF=
a
2
，BD是斜邊上的高，
∴BD=
2
4
a，tan∠B′DB=
B′B
BD
=2
2
，
故二面角B′-EF-B的大小為arctan2
2
．…（14分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（甲）如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側面A1C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=2
3
，又AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求側棱A1A與底面ABC所成的角的大�。�
（2）求側面A1B與底面所成二面角的大�。�
（3）求點C到側面A1B的距離．
（乙）在棱長為a的正方體OABC-O'A'B'C'中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AE=BF．
（1）求證：A'F⊥C'E；
（2）當三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時，求二面角B'-EF-B的大�。ńY果用反三角函數(shù)表示）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、O、O1分別是A1B、AC、A1C1的中點，且OH⊥O1B，垂足為H．
（1）求證：MO∥平面BB1C1C；
（2）分別求MO與OH的長；
（3）MO與OH是否為異面直線A1B與AC的公垂線？為什么？求這兩條異面直線間的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是AC、BD的交點，E，F(xiàn)分別是AB與AD的中點．
（1）求證：直線OD1與直線A1C1垂直；
（2）求異面直線EF與A1C1所成角的大��；
（3）求二面角B-AC-D1的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2001•上海）在棱長為a的正方體OABC-O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF．
（Ⅰ）求證：A′F⊥C′E；
（Ⅱ）當三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時，求二面角B′-EF-B的大�。ńY果用反三角函數(shù)表示）

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