Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC、BD的交點，E，F(xiàn)分別是AB與AD的中點．
（1）求證：直線OD₁與直線A₁C₁垂直；
（2）求異面直線EF與A₁C₁所成角的大��；
（3）求二面角B-AC-D₁的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A₁C₁∥AC，可知AC與OD₁所成的角就是所求的角，然后根據(jù)AC⊥平面D₁DO，從而直線OD₁與直線A₁C₁垂直；
（2）根據(jù)A₁C₁∥AC，可知AC與EF所成的角就是所求的角，又E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，從而求出EF與A₁C₁所成的角；
（3）根據(jù)二面角平面角的定義可知∠D₁OB是二面角B-AC-D₁的平面角，然后在三角形D₁OB中用余弦定理求出此角的余弦值即可求出此角．

解答：解：（1）∵A₁C₁∥AC，∴AC與OD₁所成的角就是所求的角； …（1分）
∵AC⊥BD，AC⊥DD₁，∴AC⊥平面D₁DO…（3分）
∴AC⊥OD₁，即OD₁與AC所成的角為90°…（5分）
∴直線OD₁與直線A₁C₁垂直；
（2）∵A₁C₁∥AC，∴AC與EF所成的角就是所求的角；      …（6分）
又E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，∴AC⊥EF…（8分）
則EF與A₁C₁所成的角為90°…（10分）
（3）∵BO⊥AC，D₁O⊥AC，∴∠D₁OB是二面角B-AC-D₁的平面角…（12分）
在△D₁OB中，BO=

2

2

a，OD1=

3 2

a，BD1=

3

a，
由余弦定理得：cos∠D1OB=

1 2 a2+ 3 2 a2-3a2

2× 2 2 a× 3 2 a

=-

3

3

…（15分）
因此，所求二面角B-AC-D₁的大小為π-arccos

3

3

…（16分）

點評：本題主要考查了異面直線所成角的度量以及線面垂直的判定，同時考查了二面角平面角的度量，屬于中檔題．