Question

復(fù)數(shù)z₁=3+4i，z₂=1-i，z₃=c+（c-2）i（其中i為虛數(shù)單位）早復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C．
（1）若∠BAC是銳角，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（2）若復(fù)數(shù)z滿足|z-（z₁+z₂）|=1，求|z|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)求模

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）利用復(fù)數(shù)與向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、向量的數(shù)量積運(yùn)算與夾角公式即可得出；
（2）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出．

解答： 解：（1）∵

BA

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z₁-z₂=（3+4i）-（1-i）=2+5i，∴

BA

=（2，5），

BC

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z₃-z₂=c+（c-2）i-（1-i）=（c-1）+（c-1）i，∴

BC

=（c-1，c-1），
∴cos∠ABC=

BA • BC

| BA || BC |

=

2(c-1)+5(c-1)

22+52 (c-1)2×2

＞0，解得c＞1，
由向量坐標(biāo)可知：

BA

與

BC

不共線，
因此實(shí)數(shù)c的取值范圍是c＞1．
（2）設(shè)z=x+yi（x，y∈R）．
∵z-（z₁+z₂）=x+yi-（4+3i）=（x-4）+（y-3）i，
|z-（z₁+z₂）|=1，
∴

(x-4)2+(y-3)2

=1，
化為（x-4）²+（y-3）²=1，
其圓心C（4，3），半徑r=1．
|OC|=

42+32

=5．
∴|z|的取值范圍是|OC|-r≤|z|≤|OC|+r，
即4≤|z|≤6．
∴∴|z|的取值范圍是4≤|z|≤6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)與向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、向量的數(shù)量積運(yùn)算與夾角公式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．