【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線Cρsin2θ2acos θ(a>0),過(guò)點(diǎn)P(2,-4)的直線l (t為參數(shù))與曲線C相交于MN兩點(diǎn).

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;

(2)|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】1y22ax(a>0),xy20.2a1.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,根據(jù)加減消元得直線l的普通方程;2由等比數(shù)列條件得(t1t2)2t1·t2,將直線參數(shù)方程代入圓方程,根據(jù)直線參數(shù)幾何意義以及韋達(dá)定理得方程,解方程得實(shí)數(shù)a的值.

試題解析:(1)代入ρsin2θ=2acos θ,得y2=2ax(a>0),

(t為參數(shù)),消去txy-2=0,

∴曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程分別是

y2=2ax(a>0),xy-2=0.

(2) (t為參數(shù))代入y2=2ax,

整理得t2-2 (4+a)t+8(4+a)=0.

設(shè)t1,t2是該方程的兩根,

t1t2=2 (4+a),t1·t2=8(4+a),

∵|MN|2=|PM|·|PN|,

∴(t1t2)2=(t1t2)2-4t1·t2t1·t2,

∴8(4+a)2-4×8(4+a)=8(4+a),

a=1.

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參考數(shù)據(jù)及公式如下:

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