Question

已知正實數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3對于一切n∈N^*成立．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設項和，求使T_n＜c恒成立的最小正整數(shù)c．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出數(shù)列的首項，然后根據(jù)當n≥2時，4S_n=a_n²+2a_n-3，則4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1-3，作差化簡可得正數(shù)列{a_n}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，從而可求出其通項公式；
（II）根據(jù)數(shù)列{}通項公式的特點可知利用錯位相消法進行求和，從而可求出使T_n＜c恒成立的最小正整數(shù)．
解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）當n=1時，4S₁=a₁²+2a₁-3=4a₁，得a₁²-2a₁-3=0，
a₁=3或a₁=-1，由條件a_n＞0，所以a₁=3．       …（2分）
當n≥2時，4S_n=a_n²+2a_n-3，則4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1-3
則4S_n-4S_n-1=a_n²+2a_n-3-（a_n-1²+2a_n-1-3），
所以4a_n=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（4分）
由條件a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=2，…（5分）
故正數(shù)列{a_n}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以a_n=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），，…（7分）
∴T_n=+…+．…①
將上式兩邊同乘以，得T_n=+…+…②…（8分）
①-②，得∴T_n=++…+-=-．
所以T_n=5-＜5．…（10分）
又T₁=，T₂=，T₃=，T₄=＞4．  …（11分）
若T_n=5-＜c恒成立，
∴使T_n＜c恒成立的最小正整數(shù)c是5． …（13分）
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及利用錯位相消法進行求和，同時考查了數(shù)列與不等式的綜合和計算能力，屬于中檔題．