Question

已知函數(shù)f（x）滿足：f（1）=

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，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x∈R），則f（2013）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令y=1，得到（x）=f（x+1）+f（x-1），將x換成x+1，得到f（x+1）=f（x+2）+f（x），即有f（x+2）+f（x-1）=0，再將x換成x+1，得到f（x）+f（x+3）=0．即f（x+6）=f（x）．則函數(shù)的周期為6，則f（2013）=f（3），可令x=y=0，求出f（0），由f（x）+f（x+3）=0，令x=0，得f（3）=-

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．即可得到答案．

解答： 解：當(dāng)y=1，由4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
可得4f（1）f（x）=f（x+1）+f（x-1），
即f（x）=f（x+1）+f（x-1），
f（x+1）=f（x+2）+f（x），即有f（x+2）+f（x-1）=0，
即有f（x）+f（x+3）=0．即f（x+6）=-f（x+3）=f（x）．
則函數(shù)為周期T=6的函數(shù)，
則f（2013）=f（6×335+3）=f（3），
由于4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
可令x=y=0，4f（0）f（0）=2f（0），則f（0）=

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（0舍去）．
由f（x）+f（x+3）=0，令x=0，得f（3）=-f（0）=-

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．
故f（2013）=-

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故答案為：-

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．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的周期性及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．