Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足Sn+an=2n+1．
（1）寫出a1 ， a2 ， a3 ， 并推測(cè)an的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1，時(shí)S1+a1=2a1=3

∴a1=

當(dāng)n=2時(shí)，S2+a2=a1+a2+a2=5

∴a2= ，

同樣令n=3，則可求出a3=

∴a1= ，a2= ，a3=

猜測(cè)an=2﹣

（2）解：①由（1）已得當(dāng)n=1時(shí)，命題成立；

②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即ak=2﹣ ，

當(dāng)n=k+1時(shí)，a1+a2+…+ak+2ak+1=2（k+1）+1，

且a1+a2+…+ak=2k+1﹣ak

∴2k+1﹣ak+2ak+1=2（k+1）+1=2k+3，

∴2ak+1=2+2﹣ ，即ak+1=2﹣ ，

即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．

根據(jù)①②得n∈N+，an=2﹣ 都成立．

【解析】（1）取n=1，2，3，分別求出a1 ， a2 ， a3 ， 然后仔細(xì)觀察，總結(jié)規(guī)律，猜測(cè)an的值．（2）用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，①當(dāng)n=1時(shí)，命題成立；②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即ak=2﹣ ，當(dāng)n=k+1時(shí)，a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1=2（k+1）+1，ak+1=2﹣ ，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．故an=2﹣ 都成立．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能正確解答此題．