Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，g（x）=xf（x），設(shè)曲線y=g（x）在點(diǎn)（-1，g（-1））處的切線為l（e是
自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=g（x）圖象上與l平行的切線l′的方程，并判斷l(xiāng)′與曲線y=f（x）是否存在公共點(diǎn)（若存在，請(qǐng)求出公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由）．（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.69…，ln3=1.09…）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出g′（-1）=2，由（x+1）e^x-2x=2，可得x=-1或x=ln2，從而可得切線l′的方程；令h（x）=e^x-x-（2x-ln²2）=e^x-3x+ln²2，證明函數(shù)在（ln3，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，ln3）上單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，
∴a≤0時(shí)，f′（x）=e^x-a＞0，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增；
a＞0時(shí)，f′（x）＞0，可得x＞lna，函數(shù)在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，lna）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=xf（x）=x（e^x-x），
∴g′（x）=（x+1）e^x-2x，
∴g′（-1）=2，
由（x+1）e^x-2x=2，可得x=-1或x=ln2，
x=ln2時(shí)，g（x）=ln2（2-ln2），
∴切線l′的方程為y-ln2（2-ln2）=2（x-ln2），即y=2x-ln²2，
令h（x）=e^x-x-（2x-ln²2）=e^x-3x+ln²2，則h′（x）=e^x-3，
∴函數(shù)在（ln3，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，ln3）上單調(diào)遞減，
∴x=ln3時(shí)，函數(shù)取得最大值h（ln3）=3-3ln3+ln²2＞0，
∴h（x）=0有兩解，
∴l(xiāng)′與曲線y=f（x）有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．