Question

設(shè)集合W是滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列{a_n}的集合：①， ②.其中，是與無(wú)關(guān)的常數(shù).
（Ⅰ）若{}是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，，，證明：;
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的通項(xiàng)為，且，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且.證明.

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）M≥7（Ⅲ）見(jiàn)解析

解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{}的公差是d，則，解得，
所以         (2分)
由=－1＜0
得適合條件①；
又所以當(dāng)n=4或5時(shí)，取得最大值20，即≤20，適合條件②
綜上，                 （4分）
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408232338169711130.png" style="vertical-align:middle;" />,所以當(dāng)n≥3時(shí)，，此時(shí)數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減；當(dāng)n=1，2時(shí)，，即b₁＜b₂＜b₃，因此數(shù)列{b_n}中的最大項(xiàng)是b₃=7
所以M≥7              （8分）
（Ⅲ） 假設(shè)存在正整數(shù)k，使得成立
由數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，可得，即
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823233817268730.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
由
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408232338173302233.png" style="vertical-align:middle;" />
……………………依次類(lèi)推，可得
設(shè)
這顯然與數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正整數(shù)矛盾！
所以假設(shè)不成立，即對(duì)于任意n∈N^*,都有成立.          ( 14分)