【題目】已知,
都是各項為正數(shù)的數(shù)列,且
,
.對任意的正整數(shù)n,都有
,
,
成等差數(shù)列,
,
,
成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列和
的通項公式;
(2)若存在p>0,使得集合M=恰有一個元素,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)an=n(n+1),bn=
(n+1)(2)見解析
【解析】
(1)利用等差中項和等比中項的性質,列方程組,解方程求得公差和公比,由此求得數(shù)列的通項公式.(2)構造數(shù)列
,當
時,利用數(shù)列
的單調性求得
的范圍;當
或
時,不符合題意;當
時,利用
的唯一最大值不小于
,求得
的取值范圍.最后綜上所述求得
的取值范圍.
解:(1)根據(jù)題意,2bn2=an+an+1 ①, an+1=bnbn+1 ②,
于是a2=3,b2=,2bn+12=an+1+an+2=bnbn+1+bn+1bn+2,
又因為bn>0,上式可化簡為:2bn+1=bn+bn+2對任意n∈N*恒成立,
所以數(shù)列{bn}是以b1=為首項,b2-b1=
為公差的等差數(shù)列,
所以數(shù)列{bn}的通項公式bn= (n+1),
把上式代入②,則an+1=,
特別地,當a1=1也符合上式,故數(shù)列{an}的通項公式an=n(n+1).
(2)令cn=,則
=
,
當p>3,數(shù)列{cn}單調遞減,因為集合M中只有一個元素,所以c2<λ≤c1,
即 <λ≤
;
當p=3, c1=c2>c3>c4>…,M中不可能只有一個元素,所以不符合題意;
當0<p≤1,數(shù)列{cn}單調遞增,M中不可能只有一個元素,所以不符合題意;
當1<p<3,令k=[]∈N,即k是小于等于
的最大整數(shù),則
<p-1≤
.
①若p=+1時,則c1<c2<…<ck=ck+1>ck+2>ck+3>…,M中不可能只有一個元素,所 以不符合題意;
②若+1<p<
時,則c1<c2<…<ck<ck+1>ck+2>ck+3>…,
且ck+2>ck,所以ck+2<λ≤ck+1,即<λ≤
;
③若≤p<
+1時,則c1<c2<…<ck<ck+1>ck+2>ck+3>…,
且ck+2≤ck,所以ck<λ≤ck+1,即<λ≤
;
綜上,當p>3時,<λ≤
;
當1<p<3時,取k=[]∈N,
(i)若+1<p<
時,
<λ≤
;
(ii)若≤p<
+1時,
<λ≤
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),在一個周期內的圖象如下圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設,且方程
有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍和這兩個根的和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓E:的離心率為
,點A(2,1)是橢圓E上的點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過點A作兩條互相垂直的直線l1,l2分別與橢圓E交于B,C兩點,己知△ABC的面積為,求直線BC的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知以C為圓心的圓
及其上一點
.
(1)設平行于的直線
與圓C相交于
兩點,且
,求直線
的方程;
(2)設點滿足:存在圓C上的兩點
使得
,求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】據(jù)調查,某地區(qū)有300萬從事傳統(tǒng)農業(yè)的農民,人均年收入6000元,為了增加農民的收入,當?shù)卣e極引進資本,建立各種加工企業(yè),對當?shù)氐霓r產(chǎn)品進行深加工,同時吸收當?shù)夭糠洲r民進入加工企業(yè)工作,據(jù)估計,如果有萬人進企業(yè)工作,那么剩下從事傳統(tǒng)農業(yè)的農民的人均年收入有望提高
,而進入企業(yè)工作的農民的人均年收入為
元.
(1)在建立加工企業(yè)后,多少農民進入企業(yè)工作,能夠使剩下從事傳統(tǒng)農業(yè)農民的總收入最大,并求出最大值;
(2)為了保證傳統(tǒng)農業(yè)的順利進行,限制農民加入加工企業(yè)的人數(shù)不能超過總人數(shù)的,當?shù)卣绾我龑мr民,即
取何值時,能使300萬農民的年總收入最大.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
的定義域分別為
,若存在常數(shù)
,滿足:①對任意
,恒有
,且
.②對任意
,關于
的不等式組
恒有解,則稱
為
的一個“
型函數(shù)”.
(1)設函數(shù)和
,求證:
為
的一個“
型函數(shù)”;
(2)設常數(shù),函數(shù)
,
.若
為
的一個“
型函數(shù)”,求
的取值范圍;
(3)設函數(shù).問:是否存在常數(shù)
,使得函數(shù)
為
的一個“
型函數(shù)”?若存在,求
的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:x-2y+3=0與直線l2:2x+3y-8=0的交點為M,
(1)求過點M且到點P(0,4)的距離為2的直線l的方程;
(2)求過點M且與直線l3:x+3y+1=0平行的直線l的方程.
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