【題目】已知,
都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列,且
,
.對任意的正整數(shù)n,都有
,
,
成等差數(shù)列,
,
,
成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列和
的通項(xiàng)公式;
(2)若存在p>0,使得集合M=恰有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)an=n(n+1),bn=
(n+1)(2)見解析
【解析】
(1)利用等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的性質(zhì),列方程組,解方程求得公差和公比,由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)構(gòu)造數(shù)列
,當(dāng)
時(shí),利用數(shù)列
的單調(diào)性求得
的范圍;當(dāng)
或
時(shí),不符合題意;當(dāng)
時(shí),利用
的唯一最大值不小于
,求得
的取值范圍.最后綜上所述求得
的取值范圍.
解:(1)根據(jù)題意,2bn2=an+an+1 ①, an+1=bnbn+1 ②,
于是a2=3,b2=,2bn+12=an+1+an+2=bnbn+1+bn+1bn+2,
又因?yàn)?/span>bn>0,上式可化簡為:2bn+1=bn+bn+2對任意n∈N*恒成立,
所以數(shù)列{bn}是以b1=為首項(xiàng),b2-b1=
為公差的等差數(shù)列,
所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn= (n+1),
把上式代入②,則an+1=,
特別地,當(dāng)a1=1也符合上式,故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n(n+1).
(2)令cn=,則
=
,
當(dāng)p>3,數(shù)列{cn}單調(diào)遞減,因?yàn)榧?/span>M中只有一個(gè)元素,所以c2<λ≤c1,
即 <λ≤
;
當(dāng)p=3, c1=c2>c3>c4>…,M中不可能只有一個(gè)元素,所以不符合題意;
當(dāng)0<p≤1,數(shù)列{cn}單調(diào)遞增,M中不可能只有一個(gè)元素,所以不符合題意;
當(dāng)1<p<3,令k=[]∈N,即k是小于等于
的最大整數(shù),則
<p-1≤
.
①若p=+1時(shí),則c1<c2<…<ck=ck+1>ck+2>ck+3>…,M中不可能只有一個(gè)元素,所 以不符合題意;
②若+1<p<
時(shí),則c1<c2<…<ck<ck+1>ck+2>ck+3>…,
且ck+2>ck,所以ck+2<λ≤ck+1,即<λ≤
;
③若≤p<
+1時(shí),則c1<c2<…<ck<ck+1>ck+2>ck+3>…,
且ck+2≤ck,所以ck<λ≤ck+1,即<λ≤
;
綜上,當(dāng)p>3時(shí),<λ≤
;
當(dāng)1<p<3時(shí),取k=[]∈N,
(i)若+1<p<
時(shí),
<λ≤
;
(ii)若≤p<
+1時(shí),
<λ≤
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如下圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè),且方程
有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍和這兩個(gè)根的和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:的離心率為
,點(diǎn)A(2,1)是橢圓E上的點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線l1,l2分別與橢圓E交于B,C兩點(diǎn),己知△ABC的面積為,求直線BC的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知以C為圓心的圓
及其上一點(diǎn)
.
(1)設(shè)平行于的直線
與圓C相交于
兩點(diǎn),且
,求直線
的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)滿足:存在圓C上的兩點(diǎn)
使得
,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)調(diào)查,某地區(qū)有300萬從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民,人均年收入6000元,為了增加農(nóng)民的收入,當(dāng)?shù)卣e極引進(jìn)資本,建立各種加工企業(yè),對當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行深加工,同時(shí)吸收當(dāng)?shù)夭糠洲r(nóng)民進(jìn)入加工企業(yè)工作,據(jù)估計(jì),如果有萬人進(jìn)企業(yè)工作,那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均年收入有望提高
,而進(jìn)入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均年收入為
元.
(1)在建立加工企業(yè)后,多少農(nóng)民進(jìn)入企業(yè)工作,能夠使剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)農(nóng)民的總收入最大,并求出最大值;
(2)為了保證傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的順利進(jìn)行,限制農(nóng)民加入加工企業(yè)的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的,當(dāng)?shù)卣绾我龑?dǎo)農(nóng)民,即
取何值時(shí),能使300萬農(nóng)民的年總收入最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)
恰好與拋物線
的焦點(diǎn)
重合,且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為
,若
,則雙曲線的方程為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)O是銳角△ABC的外心,a,b,c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊,A= ,且
,則λ的值為( �。�
A. B. ﹣
C.
D. ﹣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
的定義域分別為
,若存在常數(shù)
,滿足:①對任意
,恒有
,且
.②對任意
,關(guān)于
的不等式組
恒有解,則稱
為
的一個(gè)“
型函數(shù)”.
(1)設(shè)函數(shù)和
,求證:
為
的一個(gè)“
型函數(shù)”;
(2)設(shè)常數(shù),函數(shù)
,
.若
為
的一個(gè)“
型函數(shù)”,求
的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù).問:是否存在常數(shù)
,使得函數(shù)
為
的一個(gè)“
型函數(shù)”?若存在,求
的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:x-2y+3=0與直線l2:2x+3y-8=0的交點(diǎn)為M,
(1)求過點(diǎn)M且到點(diǎn)P(0,4)的距離為2的直線l的方程;
(2)求過點(diǎn)M且與直線l3:x+3y+1=0平行的直線l的方程.
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