Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，右頂點為A，上頂點為B，已知|AB|=

3

2

|F₁F₂|．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F₁，經(jīng)過原點O的直線l與該圓相切，求直線l的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點為F₂（c，0），由|AB|=

3

2

|F₁F₂|．可得

a2+b2

=

3

2

×2c，再利用b²=a²-c²，e=

c

a

即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b²=c²．可設(shè)橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，設(shè)P（x₀，y₀），由F₁（-c，0），B（0，c），可得

F1P

，

F1B

．利用圓的性質(zhì)可得

F1B

⊥

F1P

，于是

F1B

•

F1P

=0，得到x₀+y₀+c=0，由于點P在橢圓上，可得

x 2 0

2c2

+

y 2 0

c2

=1．聯(lián)立可得3

x

2 0

+4cx0=0，解得P(-

4

3

c，

c

3

)．設(shè)圓心為T（x₁，y₁），利用中點坐標(biāo)公式可得T(-

2

3

c，

2

3

c)，利用兩點間的距離公式可得圓的半徑r．設(shè)直線l的方程為：y=kx．利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點為F₂（c，0），
由|AB|=

3

2

|F₁F₂|，可得

a2+b2

=

3

2

×2c，化為a²+b²=3c²．
又b²=a²-c²，∴a²=2c²．
∴e=

c

a

=

2

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b²=c²．因此橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1．
設(shè)P（x₀，y₀），由F₁（-c，0），B（0，c），可得

F1P

=（x₀+c，y₀），

F1B

=（c，c）．
∵

F1B

⊥

F1P

，
∴

F1B

•

F1P

=c（x₀+c）+cy₀=0，
∴x₀+y₀+c=0，
∵點P在橢圓上，∴

x 2 0

2c2

+

y 2 0

c2

=1．
聯(lián)立

x0+y0+c=0 x 2 0 +2 y 2 0 =2c2

，化為3

x

2 0

+4cx0=0，
∵x₀≠0，∴x0=-

4

3

c，
代入x₀+y₀+c=0，可得y0=

c

3

．
∴P(-

4

3

c，

c

3

)．
設(shè)圓心為T（x₁，y₁），則x1=

- 4 3 c+0

2

=-

2

3

c，y1=

c 3 +c

2

=

2

3

c．
∴T(-

2

3

c，

2

3

c)，
∴圓的半徑r=

(- 2 3 c)2+( 2 3 c-c)2

=

5

3

c．
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y=kx．
∵直線l與圓相切，
∴

|- 2 3 ck- 2 3 c|

1+k2

=

5

3

c，
整理得k²-8k+1=0，解得k=4±

15

．
∴直線l的斜率為4±

15

．

點評：本題中考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓相切問題、點到直線的距離公式、中點坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．