Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，AB=2，AA₁=1，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面BCC₁B₁內(nèi)，PB₁=PC₁=

2

．
（Ⅰ）求證：PA₁⊥BC；
（Ⅱ）求證：PB₁∥平面AC₁D；
（Ⅲ）求V_A1-ADC1．

Answer 1

分析：（I）取B₁C₁的中點(diǎn)Q，連接A₁Q，PQ．利用等腰三角形底邊上的性質(zhì)可得A₁Q⊥B₁C₁，PQ⊥B₁C₁，利用線面垂直的判定定理可得B₁C₁⊥平面PQA₁，即可得到結(jié)論；
（II）連接BQ，在△PB₁C₁中，由PB₁=PC₁=

2

，B₁C₁=2，Q為B₁C₁的中點(diǎn)，可得PQ=1，BB₁=PQ，BB₁∥PQ．得到四邊形BB₁PQ為平行四邊形．于是PB₁∥BQ．又BQ∥DC₁，利用平行線的傳遞性可得PB₁∥DC₁，再利用線面平行的判定定理即可得到PB₁∥平面AC₁D．
（III）作DE⊥AC，則DE⊥平面AA₁C₁，DE=DC•sin60°=

3

2

．即可得到S△AA1C1，根據(jù)VA1-AC1D=VD-AA1C1=

1

3

×S△AA1C1×DE即可得到體積．

解答：（I）證明：取B₁C₁的中點(diǎn)Q，連接A₁Q，PQ．
∵A₁B₁=A₁C₁，PB₁=PC₁，∴A₁Q⊥B₁C₁，PQ⊥B₁C₁，
又PQ∩A₁Q=Q，∴B₁C₁⊥平面PQA₁，
∴BC⊥PA₁．
（II）證明：連接BQ，在△PB₁C₁中，∵PB₁=PC₁=

2

，B₁C₁=2，Q為B₁C₁的中點(diǎn)，
∴PQ=1，BB₁=PQ，BB₁∥PQ．
∴四邊形BB₁PQ為平行四邊形．
∴PB₁∥BQ．又BQ∥DC₁，
∴PB₁∥DC₁，
∵PB₁?平面AC₁D，DC₁?平面AC₁D，
∴PB₁∥平面AC₁D．
（III）解：作DE⊥AC，則DE⊥平面AA₁C₁，DE=DC•sin60°=

3

2

．
S△AA1C1=

1

2

×2×1=1．
∴VA1-AC1D=VD-AA1C1=

1

3

×S△AA1C1×DE=

1

3

×1×

3

2

=

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面平行于垂直的判定定理和性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．