已知二次函數(shù)f（x）=x2-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一個零點，數(shù)列{an}的前n項和Sn=f（n）（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設，定義所有滿足cm•cm+1＜0的正整數(shù)m的個數(shù)，稱為這個數(shù)列{cn}的變號數(shù)，求數(shù)列{cn}的變號數(shù)．
【答案】分析：（Ⅰ）由二次函數(shù)f（x）=x2-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一個零點可通過△=a2-4a=0求出a值，從而求得Sn=n2-4n+4，最后根據(jù)通項與前n項和的關系求解．
（Ⅱ）將（I）的結(jié)論代入，可得根據(jù)cm•cm+1＜0可知，當n≥5時，恒有an＞0，前四項求出，則易得變號的數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）依題意，△=a2-4a=0⇒a=0或a=4
又由a＞0得a=4，f（x）=x2-4x+4
∴Sn=n2-4n+4
當n=1時，a1=S1=1-4+4=1；
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-5
∴（6分）
（Ⅱ）由題設
由可知，
當n≥5時，恒有an＞0（8分）
又c1=-3，c2=5，c3=-3，
即c1•c2＜0，c2•c3＜0，c4•c5＜0
所以，數(shù)列{cn}共有三個變號數(shù)，即變號數(shù)為3．（12分）
點評：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運用，主要涉及了函數(shù)的零點，數(shù)列的通項與前n項和間的關系，以及構(gòu)造數(shù)列，研究其性質(zhì)等問題，綜合性較強，屬中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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