Question

二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x）=f（4-x），若f（1-3x²）＜f（1+x+x²），則x的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知中，二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x）=f（4-x），我們易判斷出二次函數(shù)圖象的形狀，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，我們可以將f（1-3x²）＜f（1+x+x²）轉(zhuǎn)化為一個(gè)絕對(duì)值不等式，解不等式即可得到答案．
解答：解：∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x）=f（4-x），
則x=2是函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸，
又由二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，
故函數(shù)的開口方向朝下
則f（1-3x²）＜f（1+x+x²），可轉(zhuǎn)化為
|2-（1-3x²）|＞|2-（1+x+x²）|
即|3x²+1|＞|-1+x+x²|
解得x∈（-∞，-）∪（0，+∞）
故答案為：（-∞，-）∪（0，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次不等式的解法，其中根據(jù)二次函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次不等式是解答本題的關(guān)鍵．