Question

（本小題滿分12分）如圖，為正三角形，平面，，為的中點(diǎn)，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）作的中點(diǎn)，只需證明即可；（Ⅱ）可以建立坐標(biāo)系，利用法向量求解，也可以證明平面與平面所成的銳二面角就是∠EAC，再計算即可.

試題解析：（Ⅰ）證明：作的中點(diǎn)，連結(jié)．

在中，，又據(jù)題意知，．

∴，∴四邊形為平行四邊形．

∴，又平面，平面．

∴平面． 4分

（Ⅱ）∵，∴平面．

在正中，，∴三線兩兩垂直．

分別以為軸，建系如圖．

則，，．

∴，．

設(shè)平面的一個法向量為，

則，即，令，則．

∴平面的一個法向量為．

又平面的一個法向量為．

∴．

∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值． 8分

考點(diǎn)：空間線面關(guān)系，二面角