Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x+1
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）求曲線(xiàn)在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0得x=±1，

當(dāng)x∈（﹣1，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，

∴函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上遞減，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上遞增，

當(dāng)x=﹣1時(shí)取到極大值是f（﹣1）=3，當(dāng)x=1取到極小值f（1）=﹣1．

（2）解：由f′（x）=3x2﹣3得，f′（0）=﹣3，

∵f（0）=1，∴曲線(xiàn)在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程是y﹣1=﹣3x

即3x+y﹣1=0．

【解析】（1）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根據(jù)二次函數(shù)的圖象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出f′（0）：切線(xiàn)的斜率，由解析式求出f（0）的值，根據(jù)點(diǎn)斜式求出曲線(xiàn)在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程，再化為一般式方程．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．