【題目】已知橢圓E的中心在原點，離心率為 ，右焦點到直線x+y+ =0的距離為2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）橢圓下頂點為A，直線y=kx+m（k≠0）與橢圓相交于不同的兩點M、N，當|AM|=|AN|時，求m的取值范圍．

【答案】
（1）解：設橢圓的右焦點為（c，0），依題意有 =2

又c＞0，得c=

又e= = = ，∴a=

∴b= =1

∴橢圓E的方程為 =1


（2）解：橢圓下頂點為A（0，﹣1），

設弦MN的中點為P（xp，yp），xM、xN分別為點M、N的橫坐標，

由直線與橢圓方程消去y，得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，

由于直線與橢圓有兩個不同的交點，所以

∴△＞0，即m2＜3k2+1 ①

xp=﹣ ，從而yp=kxp+m= ，kAP= =﹣

又|AM|=|AN|∴AM⊥AN，則﹣ =﹣ ，即2m=3k2+1 ②，

將②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得k2= ＞0，解得m＞ ，

故所求的m取值范圍是（ ，2）


【解析】（1）利用右焦點到直線x+y+ =0的距離為2，建立方程求出c，利用離心率為 ，求出a，可得b，即可求橢圓E的方程；（2）設弦MN的中點為P（xp ， yp），xM、xN分別為點M、N的橫坐標，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用直線與橢圓有兩個不同的交點，得到△＞0，可得m2＜3k2+1，通過|AM|=|AN|，判斷AM⊥AN，得到2m=3k2+1，然后求得m的取值范圍．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)若是函數(shù)的極值點，求曲線在點處的切線方程；

(2)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；

(3)設為正實數(shù)，且，求證： ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出下列四種說法：
①函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=logaax（a＞0且a≠1）的定義域相同；
②函數(shù)y=x3與y=3x的值域相同；
③函數(shù)y= + 與y= 都是奇函數(shù)；
④函數(shù)y=（x﹣1）2與y=2x﹣1在區(qū)間[0，+∞）上都是增函數(shù)．
其中正確的序號是（把你認為正確敘述的序號都填上）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=4x+a2x+3，a∈R
（1）當a=﹣4時，且x∈[0，2]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x）＞0在（0，+∞）對任意的實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=ax2+bx是定義在[a﹣1，3a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是（ ）
A.﹣
B.
C.
D.﹣

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，曲線的普通方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系.

（1）求曲線、的極坐標方程；

（2）求曲線與交點的極坐標，其中， .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義在[﹣4，4]上的奇函數(shù)f（x），已知當x∈[﹣4，0]時，f（x）= + （a∈R）．
（1）求f（x）在[0，4]上的解析式；
（2）若x∈[﹣2，﹣1]時，不等式f（x）≤ ﹣ 恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+ +lnx，a∈R．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間（1，4）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）討論函數(shù)g（x）=f′（x）﹣x的零點個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù) 的取值范圍，

(2)當時，關于的方程在[1,4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，

求實數(shù)的取值范圍。

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