Question

15．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{1}{|x|}$．
（1）求證：函數(shù)y=f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
（2）若f（x）＜-2x在（-∞，0）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）x∈（-∞，0）上時，f（x）=a+$\frac{1}{x}$，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，可得函數(shù)y=f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
（2）由f（x）＜-2x在（-∞，0）上恒成立，得a＜-$\frac{1}{x}$-2x，記g（x）=-$\frac{1}{x}$-2x，g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-2，g（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上是減函數(shù)，（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）上是增函數(shù)，由此能求出a的范圍．
（3）函數(shù)y=f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），再由n＞m＞0和0＞n＞m兩種情況分別討論實數(shù)a的取值范圍．

解答 （1）證明：∵x∈（-∞，0）上時，f（x）=a+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
∴y=f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．
（2）解：若f（x）＜-2x在（-∞，0）上恒成立，
得a＜-$\frac{1}{x}$-2x
記g（x）=-$\frac{1}{x}$-2x，g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-2
∴g（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上是減函數(shù)，（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）上是增函數(shù)，
得g（x）≥g（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2$\sqrt{2}$，
∴a＜2$\sqrt{2}$．
（3）函數(shù)y=f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
�。┊�(dāng)n＞m＞0時，f（x）在[m，n]上是增函數(shù)$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，解得：a＞2
ⅱ） 當(dāng)0＞n＞m時，f（x）在[m，n]上是減函數(shù)$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=n}\\{f（n）=m}\end{array}\right.$，解得：a=0
綜上所述，a的取值范圍是{a|a＞2或a=0}．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運用，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．