如圖，側棱垂直底面的三棱柱中，，，，是側棱上的動點．

　　　　

       （Ⅰ）當時，求證：；

       （Ⅱ）試求三棱錐的體積取得最大值時的值；

       （Ⅲ）若二面角的平面角的余弦值為，試求實數(shù)的值．

 


解：（Ⅰ）證法一：∵面，∴，．

又∵，∴四邊形是正方形，

∴．   ………1分

∵，

∴．    ………2分

又∵,  ∴．  ………3分

∵,

∴．   ………4分

證法二：∵面，∴，．

又∵，

∴分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系．……1分

則，

，

∴，  …2分

　∴． …3分

又∵

∴．   …4分

證法三：∵面，∴，．

又∵，

∴分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系．……1分

則,

．

　設平面的法向量，

則，解得．

　令，則，    ……3分

∵,    ∴．    ……4分

（Ⅱ）∵，

∴點到平面的距離等于點到平面的距離

∴,  …5分

　　　　，

　　　令，得（舍去）或，

列表，得

1

+

0

－

遞增

極大值

遞減

∴當時，．   …8分

（Ⅲ）分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系．

則,

，

，．   ……9分

　設平面的法向量，

則，解得,

　令，則．   …10分

　設平面的法向量，

則．

由于，所以解得．

令，則．  …11分

設二面角的平面角為，

則有．

       化簡得,解得（舍去）或．

       所以當時，二面角的平面角的余弦值為．  …13分

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，側棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四邊形ACDE中，AE=2，AC=AA1=4，∠E=60°，點B為DE中點．
（Ⅰ）求證：平面A1BC⊥平面A1ABB1．
（Ⅱ）求二面角A-A1C-B的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，側棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是側棱AA1上的動點．
（1）當AA1=AB=AC時，求證：A1C⊥平面ABC1；
（2）試求三棱錐P-BCC1的體積V取得最大值時的t值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•浙江模擬）如圖，側棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是側棱AA1上的動點．
（Ⅰ）試求三棱錐P-BCC1的體積V取得最大值時的t值；
（Ⅱ）若二面角A-BC1-C的平面角的余弦值為
10
10
，試求實數(shù)t的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•泉州模擬）如圖，側棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是側棱AA1上的動點．
（Ⅰ）當AA1=AB=AC時，求證：A1C⊥平面ABC1；
（Ⅱ）試求三棱錐P-BCC1的體積V取得最大值時的t值；
（Ⅲ）若二面角A-BC1-C的平面角的余弦值為
10
10
，試求實數(shù)t的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•梅州二模）如圖，側棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0）．
（Ⅰ）當AA1=AB=AC時，求證：A1C⊥平面ABC1；
（Ⅱ）若二面角A-BC1-C的平面角的余弦值為
10
10
，試求實數(shù)t的值．

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