Question

如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四邊形ACDE中，AE=2，AC=AA₁=4，∠E=60°，點(diǎn)B為DE中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的大小．

Answer 1

分析：（1）先證AB⊥BC，再由直三棱柱的定義證明AA₁⊥BC，從而得到直線垂直于平面，根據(jù)面與面垂直的判定定理得到結(jié)論．
（2）建立坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，在兩個(gè)平面上，各自寫出兩個(gè)向量，設(shè)出平面的法向量．根據(jù)向量垂直的充要條件，得到平面的法向量，根據(jù)法向量之間角的關(guān)系得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）法一、在平行四邊形ACDE中，
∵AE=2，AC=4，∠E=60°，點(diǎn)B為DE中點(diǎn)．
∴∠ABE=60°，∠CBD=30°，
從而∠ABC=90°，即AB⊥BC．
又AA₁⊥面ABC，BC?面ABC
∴AA₁⊥BC，而AA₁∩AB=A，
∴⊥平面A₁ABC₁．
∵BC?平面A₁BC
∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁
（Ⅱ）由題意知建立坐標(biāo)系，以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為y軸，AA1為z軸建立坐標(biāo)系，
A（0，0，0），C（0，4，0），A₁（0，0，4），B（

3

，1，0）
設(shè)出兩個(gè)平面的法向量分別是

m

=（x，y，z），

n

（a，b，c）
∵

m

•

AA1

=0，

m

•

AC

=0，

n

•

CB

=0，

n

•

A1C

=0，
∴

m

=（1，0，0），

n

=（

3

，1，1），
∴cosθ=

3

5

=

15

5

∴二面角A-A₁C-B的大小為arccos

15

5

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)典型的立體幾何題目，是高考題中常出現(xiàn)的問題，有邊角關(guān)系的證明，有用空間向量求解關(guān)于面面角的問題，解題時(shí)主要在建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，用向量法解題．