Question

函數(shù)f（x）=log_a|x+1|（a＞0，a≠1），當(dāng)x∈（-1，0）時，恒有f（x）＞0，有（　　）

• A、0＜a＜1且f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)
• B、0＜a＜1且f（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)
• C、a＞1且f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)
• D、a＞1且f（x）在（-1，+∞）上是減函數(shù)

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)x的取值范圍，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出0＜a＜1，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)t=|x+1|，
則當(dāng)x∈（-1，0）時，t=|x+1|=x+1，為增函數(shù)，
且t∈（0，1），
則y=log_at，
∵當(dāng)x∈（-1，0）時，恒有f（x）＞0，
即在t∈（0，1），log_at＞0，
∴0＜a＜1，
∴此時y=log_at為減函數(shù)，
∴要使函數(shù)f（x）=log_a|x+1|為增函數(shù)，
則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知t=|x+1|為減函數(shù)，
∵t=|x+1|在（-∞，-1）上是減函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，
故選：A．

點評：本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)條件結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出a的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．