Question

本小題滿分12分）

已知三棱錐P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，

N為AB上一點(diǎn)，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)．

(I)證明：CM⊥SN；(II)求SN與平面CMN所成角的大小．

 

Answer 1

【答案】

 (1)證明：見解析；(2) SN與平面CMN所成角為45°.

【解析】如果已知向量的坐標(biāo)，求向量的夾角，我們可以分別求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出兩個(gè)向量的模及他們的數(shù)量積，然后代入公式cosθ得到。

（1）要證明CM⊥SN，我們可要證明 ·＝0即可，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，我們不難證明；

（2）要求SN與平面CMN所成角的大小，我們只要利用求向量夾角的方法，求出SN和方向向量與平面CMN的法向量的夾角，再由它們之間的關(guān)系，易求出SN與平面CMN所成角的大�。�

解：設(shè)PA＝1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.

(1)證明：＝(1，－1，)，＝，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121810135434221727/SYS201212181014339828588497_DA.files/image001.png">·＝－＋＋0＝0，

所以CM⊥SN.

(2) ＝，設(shè)a＝(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，則，

∴，取x＝2，得a＝(2,1，－2)．因?yàn)閨cos〈a，〉|＝，

所以SN與平面CMN所成角為45°.