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已知二次函數f（x）的二次項系數為負，對任意實數x都有f（2-x）=f（2+x），問當f（1-2x2）與f（1+2x-x2）滿足什么條件時才有-2＜x＜0？

解：∵對任意實數x都有f（2-x）=f（2+x），
∴函數的對稱軸是直線x=2，
∵f（x）的二次項系數為負，
∴f（x）在（-∞，2]上單增，在（2，+∞）上單調．
又∵1-2x2≤1，1+2x-x2=-（x-1）2+2≤2．
∴需討論1-2x2與1+2x-x2的大小．
由1+2x-x2-（1-2x2）=x（x+2）知
當x（x+2）＜0，即-2＜x＜0時，1+2x-x2＜1-2x2．
故f（1+2x-x2）＜f（1-2x2）時，有-2＜x＜0．
分析：由二次函數f（x）對任意實數x都有f（2-x）=f（2+x）知其對稱軸，
結合它的二次項系數為負可得其單調性，所以只需探討1-2x2和1+2x-x2的大小關系，從而得到x的范圍．
點評：本題是個中檔題，主要考查二次函數的性質，以及比較大小和解不等式的方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數的圖象經過原點，且滿足f（2）=0，求實數m的值．
（Ⅱ）若函數在區(qū)間[2，+∞）上為增函數，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知二次函數f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

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