Question

（本小題滿分12分）

設函數(shù).

(1)對于任意實數(shù)，在恒成立（其中表示的導函數(shù)），求的最大值；

(2)若方程在上有且僅有一個實根，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2).

【解析】

試題分析：解：(1),.

法一：在恒成立在恒成立.…………………3分

由在的最小值為，

所以,得，即的最大值為. …………………………………………………6分

法二：令，.

要使在恒成立，則只需在恒成立.

由于的對稱軸為,當時，，

解得，所以的最大值為.……………………………………………………6分

(2)因為當時, ；當時, ；當時,；

即在和單增，在單減.

所以，.………………………………9分

故當或時,方程僅有一個實根.

得或時，方程僅有一個實根.

所以.………………………………………………………………12分

考點：導數(shù)在研究函數(shù)中的運用

點評：根據(jù)導數(shù)不等式恒成立，來分析函數(shù)的最值來得到結(jié)論，同時對于方程根的問題，轉(zhuǎn)化為圖像與坐標軸的交點情況來說明即可，屬于中檔題。