已知二次函數(shù)f （x）=ax2+bx （a，b為常數(shù)，且a≠0），滿足條件f （1+x）=f （1-x），且方程f （x）=x有等根．
（1）求f （x）的解析式；
（2）是否存在實數(shù)m、n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，說明理由．

解：（1）∵f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
而二次函數(shù)f（x）的對稱軸為x=-，∴-=1．①
又f（x）=x有等根，即ax2+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1）2=0．②
由①，②得 b=1，a=-．∴f（x）=-x2+x．
（2）∵f（x）=-x2+x=-（x-1）2+≤．
如果存在滿足要求的m，n，則必需3n≤，∴n≤．
從而m＜n≤＜1，而x≤1，f（x）單調(diào)遞增，
∴，
可解得m=-4，n=0滿足要求．
∴存在m=-4，n=0滿足要求．
分析：（1）由已知中f （1+x）=f （1-x），可得f（x）的圖象關于直線x=1對稱，結合方程f （x）=x有等根其△=0，我們可構造關于a，b的方程組，解方程組求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，我們根據(jù)f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]，我們易判斷出函數(shù)在[m，n]的單調(diào)性，進而構造出滿足條件的方程，解方程即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中（1）的關鍵是由已知條件構造關于a，b的方程組，（2）的關鍵是根據(jù)函數(shù)的值域判斷出函數(shù)在[m，n]的單調(diào)性，進而構造出滿足條件的方程．
練習冊系列答案
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已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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