Question

已知橢圓C：x2+

y2

m

=1的焦點(diǎn)在y軸上，且離心率為

3

2

．過點(diǎn)M（0，3）的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足

OA

+

OB

=λ

OP

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|

PA

|-|

PB

|＜

3

時，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題知a²=m，b²=1，∴c²=m-1，且離心率為

3

2

，得m=4．由此能求出橢圓的方程．
（2）當(dāng)l的斜率不存在時，|

PA

-

PB

|=|

AB

|=4＞

3

，不符合條件．設(shè)l的斜率為k，則l的方程為y=kx+3．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），聯(lián)立l和橢圓的方程：

y=kx+3 x2+ y2 4 =1

，消去y，整理得（4+k²）x²+6kx+5=0，再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解．

解答：解：（1）由題知a²=m，b²=1，∴c²=m-1
∴e=

c

a

=

m-1

m

=

3

2

，解得m=4．
∴橢圓的方程為x2+

y2

4

=1．（4分）
（2）當(dāng)l的斜率不存在時，|

PA

-

PB

|=|

AB

|=4＞

3

，不符合條件．（5分）
設(shè)l的斜率為k，則l的方程為y=kx+3．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），聯(lián)立l和橢圓的方程：

y=kx+3 x2+ y2 4 =1

，．消去y，整理得（4+k²）x²+6kx+5=0，
∴△=（6k）²-4×（4+k²）×5=16k²-80＞0，解得k²＞5．且x1+x2=-

6k

4+k2

，x1x2=

5

4+k2

，
∴|

PA

-

PB

|=|

AB

|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 (1+k2)(k2-5)

4+k2

由已知有

4 (1+k2)(k2-5)

4+k2

＜

3

整理得13k⁴-88k²-128＜0，解得-

16

13

＜k2＜8，
∴5＜k²＜8．（9分）
∵

OA

+

OB

=λ

OP

，即（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=λ（x₀，y₀），
∴x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀
當(dāng)λ=0時，x1+x2=-

6k

4+k2

=0，y1+y2=k(x1+x2)+6=

24

4+k2

=0，顯然，上述方程無解．
當(dāng)λ≠0時，x0=

x1+x2

λ

=-

6k

λ(4+k2)

，y0=

y1+y2

λ

=

24

λ(4+k2)

．
∵P（x₀，y₀）在橢圓上，即

x

2 0

+

y02

4

=1，
化簡得λ2=

36

4+k2

．由5＜k²＜8，可得3＜λ²＜4，
∴λ∈（-2，-

3

）∪（

3

，2）．即λ的取值范圍為（-2，-

3

）∪（

3

，2）．（12分）

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線和直線 的位置關(guān)系和應(yīng)用，解題時要注意公式的靈活運(yùn)用．