Question

記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=a（a≠0），且2S_n=（n+1）•a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n與S_n；
（2）記A_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，B_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a22

+…+

1

an-1

，當(dāng)n≥2時(shí)，試比較A_n與B_n的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合條件求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n與S_n；
（2）利用裂項(xiàng)法求A_n，利用等比數(shù)列的求和公式求B_n，再比較A_n與B_n的大�。�

解答： 解：（1）n≥2時(shí)，2a_n=2（S_n-S_n-1）=（n+1）•a_n-n•a_n-1
∴a_n=

n

n-1

•a_n-1，
∴a_n=

n

n-1

•

n-1

n-2

•…•

2

1

•a₁=na₁=na，
n=1時(shí)也成立，∴a_n=na，S_n=

an(n+1)

2

；
（2）

1

Sn

=

2

a

（

1

n

-

1

n+1

），
∴A_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=

2

a

（1-

1

n+1

），
∵a2n-1=2^n-1a，
∴B_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a22

+…+

1

a2n-1

=

2

a

（1-

1

2n

），
n≥2時(shí)，2ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

＞1+n，
∴1-

1

n+1

＜1-

1

2n

．
∴a＞0時(shí)，A_n＜B_n；a＜0時(shí)，A_n＞B_n；

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查大小比較，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．