Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2-x）+a（x-2）（a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若方程f（x）-b=0在區(qū)間[2-

e

a

，2)上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求證：1-e-lna≤b＜-1-lna．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（2））由于a＞0，由（1）知fmax(x)=f(2-

1

a

)=ln

1

a

-1，從而當(dāng)x∈[2-

1

a

，2)時(shí)，f（x）的值域是(-∞，ln

1

a

-1]，根據(jù)題中條件：當(dāng)函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，得出f(2-

e

a

)≤b＜f(2-

1

a

)，
化簡即得：1-e-lna≤b＜-1-lna．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x-2

+a=

ax-2a+1

x-2

(x＜2)
當(dāng)a≤02時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）是減函數(shù)
當(dāng)a＞06時(shí)，x∈(-∞，2-

1

a

)，f'（x）＞0；x∈(2-

1

a

，2)時(shí)，f'（x）＜0
此時(shí)，f（x）的單調(diào)增減區(qū)間分別為(-∞，2-

1

a

)，(2-

1

a

，2)
（2）∵a＞0，由（1）知fmax(x)=f(2-

1

a

)=ln

1

a

-1
當(dāng)x∈[2-

1

a

，2)時(shí)，f（x）的值域是(-∞，ln

1

a

-1]
當(dāng)函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
得出f(2-

e

a

)≤b＜f(2-

1

a

)，
即ln

e

a

-e≤b＜ln

1

a

-1
∴1-e-lna≤b＜-1-lna．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．