Question

設(shè)x，y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值是12，則

a2

9

+

b2

4

的最小值為（　　）

• A、

  13

  25

• B、

  1

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值是12，確定a，b之間的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定函數(shù)的最小值．

解答：解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=ax+by（a＞0，b＞0），
得y-

a

b

x+

z

b

，
平移直線y-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當(dāng)直線y-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過點A時，直線y-

a

b

x+

z

b

的截距最大，此時確定最大值12，
由

3x-y-6=0 x-y+2=0

，
解得

x=4 y=6

，即A（4，6），
代入目標(biāo)函數(shù)得4a+6b=12，
即

a

3

+

b

2

=1，
∵6b=12-4a＞0，
∴0＜a＜3．
∴

a

3

•

b

2

≤

1

4

，當(dāng)且僅當(dāng)

a

3

=

b

2

時取等號．
∵

a2

9

+

b2

4

=

a2

9

+(1-

a

3

)2=

2a2

9

-

2a

3

+1=

2

9

(a-

3

2

)2+

1

2

，
∵0＜a＜3，
∴當(dāng)a=

3

2

時，

a2

9

+

b2

4

=

2

9

(a-

3

2

)2+

1

2

取得最小值

1

2

．
故選：B．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．