Question

設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令，（0＜x≤3），其圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）處切線的斜率k≤恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=0，b=-1，方程2mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）函數(shù)的定義域是（0，+∞），把代入函數(shù)解析式，求其導(dǎo)數(shù)，根據(jù)求解目標(biāo)，這個(gè)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)只有一個(gè)等于零的點(diǎn)，判斷這唯一的極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)即可；
（II）即函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)在（0，3]小于或者等于恒成立，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值；
（III）研究函數(shù)是單調(diào)性得到函數(shù)的極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，判斷何時(shí)方程2mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，得到m所滿足的方程，解方程求解m．
解答：解：（I）依題意，知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)時(shí)，，（2′）
令f'（x）=0，解得x=1．（∵x＞0）
因?yàn)間（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減．
所以f（x）的極大值為，此即為最大值…（4分）
（II），x∈（0，3]，則有≤，在x∈（0，3]上恒成立，
所以a≥，x∈（0，3]，
當(dāng)x=1時(shí)，取得最大值，
所以a≥…（8分）
（III）因?yàn)榉匠?mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)g（x）=x²-2mlnx-2mx，則．
令g'（x）=0，x²-mx-m=0．因?yàn)閙＞0，x＞0，
所以（舍去），，
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）單調(diào)遞增
當(dāng)x=x₂時(shí)，g'（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．（12′）
則既
所以2mlnx₂+mx₂-m=0，因?yàn)閙＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．
因?yàn)閔（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，即，解得．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)、研究不等式和方程問(wèn)題中的綜合運(yùn)用，試題的難度不大，但考查點(diǎn)極為全面．本題的難點(diǎn)是第三問(wèn)中方程解的研究，當(dāng)函數(shù)具有極值點(diǎn)時(shí)，在這個(gè)極值點(diǎn)左右兩側(cè)，函數(shù)的單調(diào)性是不同的，這樣就可以根據(jù)極值的大小，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)確定方程解的個(gè)數(shù)，如本題中函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，而且是極小值點(diǎn)，也就是最小值點(diǎn)，如果這個(gè)最小值小于零，函數(shù)就出現(xiàn)兩個(gè)零點(diǎn)，方程就有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，只有當(dāng)這個(gè)最小值等于零時(shí)，方程才有一個(gè)實(shí)數(shù)解，而最小值等于零的這個(gè)極小值點(diǎn)x滿足在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零，函數(shù)值也等于零，即我們的解析中的方程組，由這個(gè)方程組求解m使用了構(gòu)造函數(shù)通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)得到x₂的方法也是值得仔細(xì)體會(huì)的技巧．